Potenzgesetz

Nimm einen beliebigen Tag und zähle Waldbrände. Die meisten sind so klein, dass sie nicht gemeldet werden. Ein paar verbrennen ein paar Hektaren. Ab und zu frisst einer ein halbes Tal. Plotte die Grössen und du bekommst eine Kurve, die steil abfällt und dann mit einem zähen, langen Schwanz nach rechts zieht. Dieselbe Kurve passt auf Erdbeben, Internet-Ausfälle, Börsen-Drawdowns, Follower-Zahlen von Musikern. Das Wort dafür ist Potenzgesetz: eine schwerschwänzige Verteilung, bei der die Häufigkeit eines Ereignisses mit einer festen Potenz der Ereignisgrösse abfällt.

Was ist ein Potenzgesetz?

Ein Potenzgesetz ist eine Verteilung, bei der die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses proportional zur Grösse des Ereignisses, hoch einem negativen Exponenten, abfällt. Verdopple die Grösse, die Häufigkeit fällt um einen festen Faktor. Verdopple nochmal, sie fällt um denselben Faktor. Die Kurve hat keine charakteristische Skala. Es gibt kein "typisches" Ereignis, an dem man Erwartungen ankern kann. Deshalb führen Mittelwerte in die Irre: ein einzelnes Monster-Ereignis kann die Summe aller kleinen Ereignisse in den Schatten stellen, der Mittelwert erzählt also von den Seltenen, nicht den Häufigen.

Mark Newmans Aufsatz von 2005 zu Potenzgesetzen, Pareto-Verteilungen und Zipfs Gesetz ist der klassische, lesbare Überblick zum Thema. Spoiler: viele Dinge, die locker als Potenzgesetz bezeichnet werden, sind etwas anderes (Log-Normal, gestreckte Exponential). Die echten Fälle sind aber beeindruckend genug.

Was ein Potenzgesetz nicht ist

Das Etikett klebt schnell an jeder langschwänzigen Kurve. Ein paar Dinge, die nach Potenzgesetz aussehen und keines sind.

• Keine Gaussglocke. Eine Normalverteilung hat einen scharfen Gipfel beim Mittelwert und Schwänze, die schnell verschwinden. Körpergrössen, Messfehler, IQ-Werte leben dort. Potenzgesetze haben keinen Gipfel und keinen sicheren Durchschnitt. Wenn du einen "typischen" Wert nennen kannst, sind die Daten kein Potenzgesetz.
• Keine seltenen Ausreisser. Ein Erdbeben der Stärke 8 ist keine Anomalie, die auf eine Gaussverteilung kleiner Erschütterungen draufgeschraubt wurde. Es sitzt auf derselben Kurve wie die Zweier, nur weiter hinten im Schwanz. Behandle Monster-Ereignisse als erwartet, nicht als Ausnahme.
• Kein Messfehler. Schwere Schwänze werden regelmässig als "Rauschen" aus Datensätzen rausgeputzt, bevor jemand analysiert. Sie sind kein Rauschen. Die Extremwerte sind das Signal, und wer sie wegwirft, zerstört genau die Form, die er messen wollte.
• Nicht das 80/20-Klischee. Paretos 80/20 ist ein spezifisches Verhältnis auf einer spezifischen Verteilung. Echte Potenzgesetze können 90/10, 99/1 oder irgendwas dazwischen sein, je nach Exponent, und sie erstrecken sich über viele Grössenordnungen, nicht über einen Management-Buch-Einzeiler.

Wo siehst du Potenzgesetze in der Welt?

In jedem System, das langsam Energie aufbaut und über einen verbundenen Untergrund freisetzt. Erdbebenstärken folgen dem Gutenberg-Richter-Gesetz, einem Potenzgesetz über neun Grössenordnungen. Städtebevölkerungen folgen Zipfs Gesetz: die zweitgrösste Stadt ist etwa halb so gross wie die grösste, die dritte ein Drittel, und so weiter. Wortfrequenzen in jeder Sprache folgen Zipf ebenfalls. Aktienrenditen, Grössen von Internet-Kaskaden, Reichweite viraler Posts, Dateigrössen auf deinem Laptop: alles schwerschwänzig.

Der tiefe Grund ist meist eine Mischung aus langsamem Aufbau, lokaler Konnektivität, und einem System, das in der Nähe eines Phasenübergangs sitzt. Anders gesagt: Potenzgesetze kommen aus Kritikalität. Das ist die Maschine unter den meisten Beispielen oben.

Warum sind Potenzgesetze wichtig?

Weil sie ändern, was "schlimmster Fall" heisst. In einer Gausswelt reicht es, drei Standardabweichungen über dem Mittelwert einzuplanen, und du hast fast alles abgedeckt, was jemals passieren kann. In einer Potenzgesetz-Welt ist das grösste Ereignis im bisherigen Datensatz fast nie das grösste Ereignis, das möglich ist. Der Schwanz hatte einfach noch nicht genug Zeit, eines zu zeichnen. Risiko-Modelle, die eine Glocke annehmen, unterschätzen die seltene Katastrophe leise um Grössenordnungen, und genau dort entstehen die meisten echten Verluste.

Das Gutenberg-Richter-Gesetz ist das klassische Lehrbuch-Beispiel. Es sagt: die Häufigkeit von Erdbeben fällt um einen festen Faktor, jedes Mal wenn die Magnitude um eins steigt. Eine Sieben ist rund zehnmal seltener als eine Sechs, eine Acht nochmal zehnmal seltener. Die Regel passt auf Daten von 1930 bis heute, quer durch jede vermessene seismische Zone. Deshalb können Seismologen die Statistik des Bebens übers nächste Jahrhundert vorhersagen, auch wenn niemand das einzelne Beben vorhersagen kann. Mark Newmans Review von 2005 stellt dieses Beispiel neben Zipfs Gesetz für Städte und Wörter, Sonneneruptionen und Waldbrandgrössen. Dieselbe Kurve, dieselbe Konsequenz: hör auf zu fragen "wie gross im Mittel?" und frag "wie schwer ist der Schwanz?"

Probier es in der Sim

Die Waldbrand-Simulation erzeugt das Potenzgesetz direkt vor dir. Bäume wachsen langsam, Blitze zünden selten, Feuer breitet sich zu verbundenen Nachbarn aus. Das Histogramm-Panel führt Buch über die letzten Brandgrössen.

• Lass das Kritische Regime-Preset ein paar Minuten laufen. Das Histogramm füllt sich mit vielen kleinen Bränden und gelegentlich einer langen Leiste. Dieser lange Schwanz ist das Potenzgesetz.
• Zieh die Wachstumsrate in Richtung Dichte-Überschuss. Die Dichte schiesst über die Kritikalität hinaus. Jedes Feuer ist jetzt riesig. Die Verteilung sackt auf die rechte Seite des Histogramms. Der Schwanz frisst alles.
• Zieh sie in Richtung Spärliches Nachwachsen. Feuer bleiben winzig, weil der Wald nie zusammenhängt. Der Schwanz verschwindet, nur die linke Seite bleibt. Potenzgesetze brauchen beide Extreme nebeneinander.

Wo Potenzgesetze auf dieser Seite andocken

Potenzgesetze sind die Signatur von Kritikalität. Wo das eine auftaucht, ist das andere fast immer in der Nähe. Kaskaden sind der Mechanismus, der den Schwanz füllt: ein Ereignis löst das nächste aus, das zwei, und ab und zu erreicht die Kette das ganze System. Emergenz ist der Grund, warum kein Designer die Kurve geplant hat. Sie fällt aus dem kollektiven Verhalten heraus. Die Simulationen hält die ganze Familie zusammen. Frei zum Verlinken aus einem Kurs zu komplexen Systemen oder zum Einsatz der Sim in einer Klassendiskussion zu schweren Schwänzen.